Как найти длину перпендикуляра с точки на отрезок?

Question

[Urukhayy]

Есть точка A(x,y).
Есть отрезок с началом B(x1,y1) и концом C(x2,y2).

Требуется найти перпендикуляр, опущенный с точки на отрезок.

Я попробовал сделать по формуле высоты треугольника - www.fxyz.ru/%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D...
Но дело в том, что если точка лежит не над отрезком (то есть под точкой пустота), то результат будет таким, словно отрезок все равно под точкой. Иначе говоря, будто отрезок бесконечный.

Answer 1

[Mrrl]

double L=(x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2);
double PR=(x-x1)*(x2-x1)+(y-y1)*(y2-y1);
bool res=true;
double cf=PR/L;
if(cf<0){ cf=0; res=false; }
if(cf>1){ cf=1; res=false; }
double xres=x1+cf*(x2-x1);
double yres=y1+cf*(y2-y1);

В (xres,yres) будут координаты ближайшей точки отрезка, а переменная res покажет, перпендикуляр получился, или нет.

Comments

[Urukhayy]

Что такое PR?

[Urukhayy]

И почему нельзя по формуле высоты треугольника?

[Urukhayy]

И что такое cf..

[Mrrl]

Переменная типа double. В неё кладётся скалярное произведение двух векторов (BC и BA).

[Mrrl]

cf - отношение проекции вектора BA на BC к самому вектору BC. То есть, если X - проекция точки A на прямую BC, то cf (до коррекции) даёт BX=cf*BC. Если cf<0, то X оказалась перед B, и в этом случае точка отрезка, ближайшая к A это B. А если cf>1, то X оказалась за C, и точка, ближайшая к A - это C.
По формуле высоты нельзя, потому что она не показывает, опустилась высота на отрезок или за его пределами. А вообще "найти перпендикуляр" звучит не очень понятно. Что надо-то? Длину перпендикуляра? Его основание? Его уравнение? И каким же должен быть результат, если основание высоты оказалось вне треугольника?

[Urukhayy]

Mrrl: Если быть точней, нужна длина перпендикуляра. Я же в вопросе упомянул её)

[Mrrl]

Mrrl: А, увидел. Надо читать не только текст вопроса, но и заголовок. Тогда остается только последний вопрос - каким предполагается ответ, если точка на отрезок не попала?

[Urukhayy]

Mrrl: Если не попала, то нужно дать знать об этом, на примере той же переменной bool res.

[Mrrl]

Urukhayy: Обычно, если фигурирует точка и отрезок (а не прямая), то спрашивают расстояние от точки до отрезка. Это та задача?

[Urukhayy]

Да, расстояние от точки до отрезка. А раз расстояние, то кратчайшее, а раз кратчайшее, то перпендикуляр :)

Хотя, расстояние будет лучше..

[Mrrl]

Urukhayy: Ну, тогда cf менять не надо. И формула высоты работать будет:

double L=(x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2);
double PR=(x-x1)*(x2-x1)+(y-y1)*(y2-y1);
bool res=(PR >= 0 && PR <= L);
double LPerp=fabs((x-x1)*(y2-y1)-(y-y1)*(x2-x1))/sqrt(L);

Быстрее, по-моему, нельзя.

[Mrrl]

Urukhayy: Так если расстояние, то это не всегда перпендикуляр, а расстояние до ближайшей точки. Которая может быть как основанием перпендикуляра, так и одним из концов отрезка. Вы уж определитесь, какая у вас задача :)
Расстояние ищется так:

double L=(x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2);
double PR=(x-x1)*(x2-x1)+(y-y1)*(y2-y1);
double cf=fmax(0,fmin(1,PR/L));
double dx=(x1-x)+cf*(x2-x1);
double dy=(y1-y)+cf*(y2-y1);
double Dist=sqrt(dx*dx+dy*dy);

[Urukhayy]

Mrrl: Хотелось бы пояснения. Мне же не только результат нужно, но и понять =)

LPerp - это расстояние от точки до прямой?
fabs - модуль числа?
и откуда взялась нижняя формула?
во всех ли C подобных языках действует синтаксис res=(PR >= 0 && PR <= L);?

И пара личных вопросов: Откуда Вы знаете формулы?) Домашнее обучение, или Вы профессор какой?)

[Urukhayy]

Mrrl: cf=fmax(0,fmin(1,PR/L)); - это значит, что cf всегда меньше 1 и больше 0?

И еще вопрос, тут ниже в ответах человек предложил уравнением прямых. Как лучше?

[Mrrl]

Urukhayy:
LPerp - это расстояние от точки до прямой? - да
fabs - модуль числа? - да
и откуда взялась нижняя формула?
Площадь параллелограмма с вершинами (0,0), (x1,y1), (x1+x2,y1+y2), (x2,y2) можно вычислить как
abs(x1*y2-x2*y1). Это часть формулы векторного произведения двух векторов в трёхмерном пространстве, которое, в частности, позволяет найти площадь параллелограмма и активно используется при вычислении площадей и нормалей к поверхности. Треугольник - половина параллелограмма, так что его удвоенная площадь вычисляется по той же формуле. Если начало не в (0,0), то из координат двух вершин надо вычитать координату третьей.

во всех ли C подобных языках действует синтаксис res=(PR >= 0 && PR <= L);? - насколько я знаю, да.

Откуда Вы знаете формулы?) Домашнее обучение, или Вы профессор какой?) - нет, до профессора не дорос. Был всего лишь ведущим научным сотрудником мехмата... А вообще, да - домашнее обучение. В рамках подготовки к международной олимпиаде пришлось и не такое узнать.
Но конкретно эти формулы изучаются на первом курсе, на аналитической геометрии. Чтобы знать их, профессором быть не обязательно.

[Mrrl]

Urukhayy: cf=fmax(0,fmin(1,PR/L)); - это значит, что cf всегда меньше 1 и больше 0?
Не только. Значит, что значения, большие 1, мы превращаем в 1, а значения, меньшие 0 - превращаем в 0. А остальные не меняем. Но на выходе действительно будет число от 0 до 1 (включительно).
Учитесь разбирать формулы и понимать, что в них написано - пригодится :) Математика - это язык. На котором вполне можно читать без словаря.

[Urukhayy]

Mrrl: Ну и завершающий вопрос для разбирания..

double dx=(x1-x)+cf*(x2-x1);
double dy=(y1-y)+cf*(y2-y1);

Чем является dx и dy? Эта точка где расположена?

[Mrrl]

(dx,dy) - это не точка, а вектор AX. Где X - ближайшая к A точка отрезка BC. Вычисляется как сумма векторов AB=(x1-x,y1-y) и BX=cf*BC=(cf*(x2-x1),cf*(y2-y1)).

[Urukhayy]

Mrrl: Кстати cf.. это же косинус? ) ru.onlinemschool.com/math/library/vector/angl

[Mrrl]

Urukhayy: Нет, косинус был бы, если бы скалярное произведение делили на произведение длин векторов. А так его делят на квадрат длины одного вектора. Эта величина названия не имеет.

[Urukhayy]

Mrrl: Что-то не то. Получается, что отображает расстояние не от точки до прямой, а от точки до основания отрезка. Или я не то что-то вставил.

[Urukhayy]

Mrrl: Пока разбирал эту тему наткнулся на такую формулу mathprofi.ru/d/skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_cl...

Это формула нахождения проекции. Но у них там в знаменателе есть вывод из корня, а у Вас нет..

[Mrrl]

Urukhayy: Какие входные данные?

[Mrrl]

Urukhayy: Потому что у них длина проекции. А мне нужна длина проекции, делённая на длину вектора.

[Urukhayy]

Mrrl: x1 = -2005, y1 = -2341, x2 = -1995, y2 = -2344, x = -2004, y = -2341

[Mrrl]

Urukhayy: Проверяйте:
L=109
PR=10
cf=0.091743
dx=-0.08257
dy=-0.27523
Dist=0.287348

[Urukhayy]

Mrrl: Вот есть единственное отличие, я dx и dy брал по модулю...... видимо в этом загвоздка. Спасибо за формулу) Вы ее наизусть что ли знали, или погуглили как я задал вопрос?) Я про отношение проекции на вектор. Это даже представить немного трудно..

[Mrrl]

Urukhayy: Нет, dx, dy по модулю не должно влиять. Там знак не важен. Он важен при вычислении PR.
Про формулу - вряд ли я смогу ответить. Не гуглил точно. Но помнил, или вывел на лету - не скажу. Запоминать такие формулы необходимости нет, достаточно знать принципы, которые там работают. А когда надо, превращать их в нужные формулы.

[Urukhayy]

Mrrl: я тут вот еще на какой способ наткнулся, по той же задаче: algolist.manual.ru/maths/geom/distance/gif/Eqn_dcr...

[Urukhayy]

Mrrl: В общем разобрался) Ваш способ хорош) Оказывается я по модулю PR взял..... :D По поводу моего коммента выше - тот способ не работает (который под ссылкой). Спасибо за ответы.

Answer 2

[jcmvbkbc]

Перпендикулярную к прямой прямую, проходящую через заданную точку, можно построить единственным способом. Если ваш отрезок не содержит точку пересечения с перпендикуляром, то перпендикуляр "к отрезку" построить невозможно.