Простейший вариант - у регистратора для нового домена добавить точно такие же А-записи как и у оригинального домена. Если при переходе на новый домен будет перекидывать на старый - нужно менять настройки сайта или веб сервера. А тут уже зависит от того, на чем сайт написан.
Ну и если сайт через https работает, то это тянет обязательное обновление или добавление ssl сертификата, чтоб он подходил для двух доменов.
Начать можно с А-записей.