Почему в геометрии выделяются только три признака равенства треугольников?

Question

[NeedyNitwit]

Почему в геометрии выделяются только три признака равенства треугольников, когда их по сути пять. Еще треугольники будут равны по двум углам и прилежащей стороне, и по двум сторонам и прилежащему углу. Я чего-то не понимаю, и в этих случаях треугольники не всегда равны? И в интернете почему-то у двух других признаках тоже ничего не нашел

Comments

[NeedyNitwit]

Треугольники будут равны при любых трех одинаковых значениях углов или сторон, кроме ситуации когда равны три угла - в этом случае длина сторон может отличаться сохраняя пропорции. Но выделяют почему-то только три, а оставшиеся две комбинации, это для математиков шутка что-ли? Можно ли найти где-то доказательство или опровержения этих признаков?

Answer 1

[Wataru]

по двум углам и прилежащей стороне,

Тут имеется ввиду сторона не между двумя углами же?

Вообще, если 2 угла равны, то равны все три, а значит это сводится к стандартному методу в пол действия. Поэтому его и не используют, зачем плодить сущности, если это на самом деле один и тот же метод (три угла и одна сторона).

по двум сторонам и прилежащему углу.

А вот это не правда, если угол не между двумя равными сторонами. Вот заданы нам 2 длины и угол. Построим такой треугольник: отрезок заданной длины, луч из одной вершины с заданным уголом, окружность заданной длины из второй вершины. Луч и окружность пересекаются в двух точках. Значит, есть 2 разных варианта для третьей вершины, удовлетворяющих условиям. Т.е. есть 2 разных треугольника у которых равны 2 стороны и угол (не между ними).

Comments

[NeedyNitwit]

Спасибо

Answer 2

[Rsa97]

1. По двум сторонам и углу между ними.
2. По стороне и двум прилежащим углам.
3. По трём сторонам.

по двум углам и прилежащей стороне

прилежащей к чему?

по двум сторонам и прилежащему углу

прилежащему к чему?
Сформулируйте свои определения полностью.

Comments

[NeedyNitwit]

Ну да действительно, там же столько вариантов к чему может прилегать сторона, если она не находится между углами. Или если угол не находится между сторонами, у него же есть еще множество всяких разных вариантов не правда ли? Вы просто подушнить решили, что я как то недостаточно математически выразился?

[Rsa97]

NeedyNitwit, Недостаточно. Формулировка должна быть однозначной. Скажем, у обоих треугольников есть углы в 30° и 60°. Сторона длиной 1 см прилегает в первом треугольнике к углу 30°, а во втором к углу 60° и ни в одном из случаев эта сторона не находится между этими углами. Будут ли эти треугольники равными?

[Rsa97]

NeedyNitwit, Предположим, что в первом случае вы сделали уточнение, что стороны прилегают к одинаковым углам. Тогда мы можем получить третий угол из суммы углов треугольника 180° и перейти к признаку 2.
Предположим, во втором случае, вы сделали уточнение, что углы прилежат к одинаковым сторонам. Тогда, в общем случае, мы можем построить два разных треугольника. Сторона AB общая, угол ABC общий, сторона AC равна стороне AC', но треугольники ABC и ABC' разные.

[NeedyNitwit]

Rsa97,

[NeedyNitwit]

Вот при таких условиях оранжевые треугольники равны между собой, а синие между собой. Но их почему-то обделяют вниманием в геометрии и я хочу понять почему и найти доказательства что они будут равны

[Rsa97]

NeedyNitwit, Оранжевые - частный случай признака 2, поскольку третий угол однозначно вычисляется из двух известных.
Синие - неверно, поскольку сторону, противолежащую известному углу можно построить двумя способами (см. предыдущий комментарий).

[NeedyNitwit]

Rsa97, Спасибо, да действительно, во втором примере треугольники имеют два варианта построения. Найти сам в интренете я не смог этого, спасибо что объяснили

[Rsa97]

NeedyNitwit, Это объяснение, немного в другой форме, есть на википедии.