Так же, как и любое взаимодействие браузера с сервером - через инструменты разработчика, вкладка "Сеть".
Если "сессия не записывается", в 99% случаев это значит что браузер не прислал сессионную куку.
И в инструментах разработчика надо смотреть заголовки запросов браузера и ответов сервера, смотреть есть ли в куках идентификатор сессии, и если есть - то какой.
Плюс обычная отладка на стороне сервера, в частности дамп массива $_SESSION при каждом запросе, отображение всех ошибок, и так далее. Не бином ньютона