Как взять интеграл в уме?

Question

[Александр]

Мечтаю научиться брать интегралы, с чего начать? Хотелось бы интегрировать в уме, получая неправильные правильные ответы.
Хватит ли программы за 8 класс, чтобы решать Демидовича?

Comments

[Виктор]

Хотелось бы интегрировать в уме, получая правильные ответы.

В прикладном сиысле - нет ничего проще, любой толковый инженер-конструктор рассчитывает приблизительное численное значение интеграла по несколько раз на дню. Тут дело в том, что интеграл - это просто площадь фигуры, образованной графиком функции в заданных границах, а прикинуть площадь фигуры можно даже на глазок с достаточной для практики точностью.
Кроме того, не надо забывать, что интеграл - это просто-напросто сумма (не зря же он обозначается вытянутой буквой S). Если фигуру графика функции можно выложить из соприкасающихся вплотную прямоугольников (а площадь прямоугольника рассчитывается в уме за полторы секунды), то сложив их площади, вы и получите искомое численное значение интеграла этой функции. Чем меньше будет пропусков в этом выкладывании, тем точнее полученное значение интеграла.

[Александр]

Виктор, огромное спасибо. С завтрашнего дня начну интегрировать в уме.

[Виктор]

Александр, ну вот вам для практики первая задачка Это функция потребляемой мощности жилым домом:

Допустим, нам надо из этого графика получить количество электроэнергии, полученной этим домом за сутки. Для этого надо умножить мощность на время, а поскольку мощность не постоянна, придётся брать интеграл по времени (от 0 до 24 часов). Математика тут не поможет - функция не аналитическая, придётся считать на пальцах.
Первый вариант, самый неточный - прикинуть среднюю мощность (по графику это легко - примерно 40...50 кВт) и умножить на 24. Три секунды - и неточный результат готов.
Второй (более точный) - использовать заполнение прямоугольниками, как я описывал выше. Картинка облегчает эту задачу, на ней график уже аппроксимирован ступенями через каждый час. Т.е. вся функция уже разбита на узкие (часовые) вертикальные прямоугольники. Умножаем значение мощности за этот час на 1 час, получаем энергию, потреблённую в этот час, потом все 24 значения суммируем. Это уже подольше, надо несколько минут. Чем уже прямоугольники, т.е. чем меньше временные интервалы между замерами мощности, тем точнее полученный интеграл, поскольку тем меньше площади треугольничков сверху, отличающих высоту прямоугольников от реальных значений графика.

[Александр]

Виктор, огромное Вам спасибо.

[Виктор]

Александр, ну если вам понравилось, могу переписать этот комментарий как ответ, а вы отметите решением.

[Александр]

Виктор, да

Answer 1

[mayton2019]

Зубри формулы дифференцирования. Интегрирование - это обратный процесс по отношению к Д.
И без этой зубрежки ты все равно никуда не сдвинешся.

Кроме того. В решебниках тебе подсовывают "берущиеся интегралы". Это примитивные функции или
их композиции к которым всегда можно угадать цепочку преобразований чтобы свести их к известным
паттернам. Как например интегрирование по частям.

А в реальном мире очень редко когда можно найти интеграл от произвольной функции. Скорее всего.. 99%
что нельзя.

Answer 2

[Виктор]

Хотелось бы интегрировать в уме, получая правильные ответы.

В прикладном смысле - нет ничего проще, любой толковый инженер-конструктор рассчитывает приблизительное численное значение интеграла по несколько раз на дню. Тут дело в том, что интеграл - это просто площадь фигуры, образованной графиком функции в заданных границах, а прикинуть площадь фигуры можно даже на глазок с достаточной для практики точностью.
Кроме того, не надо забывать, что интеграл - это просто-напросто сумма (не зря же он обозначается вытянутой буквой S). Если фигуру графика функции можно выложить из соприкасающихся вплотную прямоугольников (а площадь прямоугольника рассчитывается в уме за полторы секунды), то сложив их площади, вы и получите искомое численное значение интеграла этой функции. Чем меньше будет пропусков в этом выкладывании, тем точнее полученное значение интеграла.
Продолжение в комментариях к тексту вопроса.