Если сайт уже есть, то настроить скрипт как CGI-приложение, кнопка должна делать запрос к серверу, который будет обрабатываться этим приложением. Конкретная настройка зависит от того, какой http-сервер используется.
Если сайта как такового нет, то подними мини-приложение на том же FastAPI или Flask как отдельный сервер. Пусть он сам отдаёт страницу по одному запросу, и вызывает нужный скрипт по другому. Подробности в документации на соответствующие фреймворки.
