Как узнать место пересечения луча со сферой?

Question

[Oleg_Programist]

Нужна функция, которая возвращает координаты столкновения луча со сферой, она принимает такие значения как:
позиция камеры, направление луча, позиция сферы и радиус сферы, желательно написанная на c++.

Comments

[Kirgus]

Это математическая проблема, решение которой не связано с программированием. Думаю гуглится легко

Answer 1

[Wataru]

Тривиально: парметризуйте луч, подставьте в уравнение сферы, решите получившееся квадратное уравнение.

Луч:

x = x0 + t*vx
y = y0 + t*vy    (1)
z = z0 + t*zy

Где (x0,y0,z0) - начало луча (камера?), (vx, vy, vz) - направление луча.

Уравнение сферы:
(x-xs)**2 + (y-ys)**2 + (z-zs)**2 = R**2 (2)

Где (xs, ys, zs) -центр сферы, R - радиус.

Подставьте (1) в (2) - получите квадратное уравнение на t. Решите его по школьной формуле и возьмите минимальное положительное t. Подставьте в (1) и получите координаты точки пересечения (и заодно длину луча, если вектор направления нормализован).

Comments

[Александр Павлюк]

Нужна еще проверка, по какую сторону от плоскости выпускания луча было пересечение.

[Wataru]

Александр Павлюк, Она уже есть. Написано же, найти положительный корень квадратного уравнения. В нужную сторону t положительно, в обратную - отрицательно.

[Oleg_Programist]

можно узнать что такое t?

[Wataru]

Oleg_Programist, неизвестная переменная. Как x в уравнениях школьных, только t. Подставьте туда любое неотрицательное число - получите координаты точки на луче.

[Oleg_Programist]

Wataru, я не очень дружу с математикой, в общем этот код находит есть ли точка на луче внутри сферы,
что дальше? как найти t?

[Wataru]

> как найти t?
Решить квадратное уравнение относительно t.

Коэффициенты у него, если (1) подставить в (2):

a = vx*vx+vy*vy+vz*vz
b = 2*(vx*(x0-xs)+vy*(y0-ys)+vz*(z0-zs)) 
c = (x0-xs)*(x0-xs)+(y0-ys)*(y0-ys)+(z0-zs)*(z0-zs) - r*r

Тут в вычислениях все - известные вам входные данные (параметры луча и сферы).

Теперь считаем дискриминант:
d = b*b-4*a*c.

Если он меньше 0 - решения нет. Луч не пересекает сферу.

Потом находим 2 корня:
t1 = (-b-sqrt(d))/(2*a)
t2 = (-b+sqrt(d))/(2*a)

Берем из них минимальный положительный. Это делается просто. Если t1 положителен - это он. Иначе - это может быть t2.
Как-то так:

if (t1 > 0) t = t1;
else t = t2;
if (t <= 0) решения_нет;

Вот вы нашли t. Теперь можно вычислить координаты точки пересечения, подставив его в (1):

x = x0+t*vx
y = y0+t*vy
z = z0+t*vz

Вот это x,y,z, если вы дошли до сюда - это и есть точка пересечения.

Немного советов, если вы используете библиотеку какую-то или у вас есть тип "3d вектор/точка" (что практически точно должно быть, иначе вы в этих иксах-игреках запутаетесь рано или поздно), то скорее всего эта библиотека умеет скалярно умножать векторы, умнажать их на число и складывать. Тогда все эти вычисления сверху упрощаются. a - скалярное произведения вектора направления луча на себя.
b - удвоенное скалярное произведения вектора направления и вектора на центр сферы из камеры. c - скалярное произведения вектора из камеры на центр сферы минус радиус в квадрате. После вычисления t можно вектор направления домножить на найденное t и прибавить к положению камеры.

[Oleg_Programist]

Wataru, спасибо большое!
теперь все ясно

Answer 2

[mayton2019]

Мне нужна функция которая возвращает координаты столкновения луча со сферой

Сразу замечание. Давайте перечислим ситуации которые могут быть.

1) Луч пересекает сферу в 1 точке (касательная). Или луч испускается изнутри сферы.
2) Луч пронизывает сферу в 2 точках (наиболе общий кейс)
3) Луч не попал в сферу.

Наша функция (какая-бы она не была) должна возвращать 3 типа этих результатов. Или просто список от 0 до 2х векторов в пространстве (x,y,z). Я-бы предпочел перечисление из 3х типов результатов. Мне кажется что это достаточно важно.