в подавляющем большинстве случаев приложения windows, написанные с помощью opensource библиотек и слабо завязанные на майкрософтовские (т.е. только то что идет в поставке с ос, максимум нужна правильная версия visual studio redistributable), могут работать в windows с помощью wine, либо напрямую готовый бинарник либо собираться с ее помощью
К тому же фреймворк qt - кроссплатформенный, должен собираться везде, и дальше вопрос больше в том какие у тебя проблемы с этим возникают.
p.s. при использовании linux, а точнее адекватные дистрибутивы типа debian/ubuntu/... с поддерживаемыми репозитариями пакетов, уже содержат в своей поставке несколько версий qt и всего ее окружения, не понятно что у тебя там от куда не скачивается
