Во-первых, вам достаточно доказать это лишь для одной производной. Все остальные доказываются по индукции.
Если нет кратных корней - то все просто. У вас n-1 последовательный промежуток между двумя корнями. На каждом должен быть ноль производной.
Теперь, допустим есть какой-то корень степени k > 1.
Тогда P(x) = (x-a)^k Q(x).
Если взять производную, то видно, что она делится на (x-a) в степени k-1, т.е имеет k-1 корней:
P'(x) = k*(x-a)^(k-1)*Q(x)+(x-a)^k*Q'(x)
Т.е, если у вас m различных корней (суммарной кратностью n), то производная, как и в первом случае имеет m-1 корней между корнями P(x) и еще n-m раз повторяет корни полинома как во втором случае. Суммарно - n-1 вещественных корней, значит все корни - вещественные.
