"Бюджетные видеосерверы" это только про китайский видеорегистратор с аналоговыми входами. Он умеет отдать потоки по RTSP если не слишком старый, и стоит 50..100$ (кто просит больше -- мошенник). Но там софт на линукс на борту, с вполне недооткрытым проприетарным ПО, и по техзаданию не проходит. Да и зачем там RTSP и писать на разбухе если регистратор готовый? Но раз надо, значит надо. Вариант джва -- плата видеозахвата. Изделие вымирающее, и если больше 1 канала, то USB не будет (или будет крайне не бюджетное под 3.1 и не для ваших целей), 4 канала уже PCI, больше PCI-E. Пахнет IBM Compatible и цены кусаются, так как спрос низкий. Да к тому же драйвер тоже писал производитель и о совместимости и открытости не заботился. Третий вариант не дешев и проприетарен -- использовать видеоенкодеры, например от axis. Не будем его рассматривать.
Эти варианты выглядят удручающе. Но есть вариант, который возможно устроит вас, и даже всесторонне заинтересует, если вы разработчик и не просто так интересуетесь безпроприетарностью. Вы можете взять китайский аналоговый регистратор и перепилить его ПО под свои нужды, немного изучив используемую платформу и ее возможности. Люди которые по фану или профессионально этим занимаются есть, найдите например iTuneDVR на форуме dahuacctv или hikvision.msk