Wataru

Восстановить последовательность можно только если неурезанные числа никогда не изменяются больше чем на 65535.

Один вариант решения - прибавлять к текущему числу 65536, пока оно меньше предыдущего. Можно обойтись арифметикой:

a[i] += ceil((a[i-1]-a[i])/65536)*65536

Только проверьте, что в вашем языке ceil(-0.5) даёт 0, иначе надо отдельно проверять случай, когда последовательность возрастает в начале и прибавлять ничего не надо. И ещё, тут считается, что числа в неурезанной последовательности могут повторяться. Если нет, то надо отдельно рассмотреть случай равных чисел в итоге и ещё раз прибавить 65536.

Зачем сервис? Вот вам формула для любого числа X = (X-1) + 1. Например, 172 = 171+1.

Или вам какое-то особое свойство у формулы нужно?

Запишите уравнение повернутого конуса.
Конус будет иметь то же уравнение в повернутой системе координат x', y', z. Можно выразить x', y' через x, y и косинусы/синусы угла поворота alpha. Подставьте это в уравнение конуса и получите уранение в нормальных координатах.

Пересеките конус с плоскостью. Решите систему из уравнений. Из уравнения плоскости выразите z^2 и подставьте в конус. Получите уравнение второго порядка на x и y.

Это уравнение проекции сечения на OXY. Теоретически, его класс будет таким же как и класс сечения, потому что это проекция вдоль оси конуса, но это может быть сложно формально доказать. Поэтому надо немного преобразовать уравнение.

Введите декартову систему координат на плоскости (взяв один любой вектор на плоскости как одну ось и векторное произведение его с нормалью как вторую ось). Параметризируйте плоскость через эту систему координат в виде x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v). Подставьте это в ваше предыдущее уравнение второго порядка.

Вот вы и получили уравнение сечения в плоскости с параметром alpha. Дальше надо применить классификацию кривых второго порядка чтобы понять, чем оно может быть.

Единственный способ - решить уравнение, приравняв 2 функции для графиков. Построение графиков - это фактически графическое решение этого уравнения.

Дальше завивит от того, как графики заданны. Если это наборы точек, то надо найти 2 одинаковые точки в отсортированных массивах. Или попересекать кучу отрезков, если график кусочно-задан.

Если графики заданны функциями, то надо решить уравнение. Тут вам помогут численные методы, если это не полиномы степени 4 и меньше. Например, метод Ньютона.

Никаких других методов нет.

Это задача об оптимальном разбиении на подмножества, она NP-сложная. Тут нет какого-то простого и быстрого алгоритма.

Полный перебор, метод ветвей и границ, всякие методы отжига и генетические алгоритмы вам в помощь.

В отдельных случаях (сумма не очень большая и множеств всего 2; числа очень маленькие) возможны быстрые алгоритмы на основе динамического программирования

Обычно там всякие экспоненциальные функции. Ну или, на худой конец, квадратичные.

Попробуйте что-то вроде 1.2**lvl *50 и 1.3**lvl *100.

2^10 ~ 10^3. 2^1 000 000 000 000 000 ~ 10^300 000 000 000 000.

Это число, у которого очень много знаков. Его запись в файле займет 272 терабайта. Соответственно, для его вычисления понадобится или подобное количество памяти, или какие-то очень хитрые алгоритмы с записью в промежуточные файлы и в несколько раз больше места на диске.

Вряд ли у вас цель - получить эти 300 миллиардов цифр. Наверно, вам нужно что-то с этим числом делать. Возможно, это можно сделать без вычисления всех цифр числа. Например, если вам нужны последние 100 цифр - то можно на том же питоне производить вычисления по модулю 10^100. Правда, придется писать экспоненциальное возведение в степень самостоятельно.

Отдельно проверьте, что точка в первой четверти.

Далее, фигура повторяется блоками 2x2, т.е. вам не важны сами координаты, а только их положение в блоке.

Для высчитывания координаты в блоке можно или вычитать 2, пока координата больше 2, или вычесть из x (floor(x) - floor(x)%2). floor(x) даст целые числа. Потом надо это число сделать четным, возможно вычесть 1. floor(x)%2 - как раз и даст нам, что надо вычесть.

А дальше - набор if-ов. вам надо лишь описать, что точка принадлежит одной из двух четвретринок круга в левом нижнем углу.

Разбейте область на простые фигуры (квадраты, окружности, полуплоскости) и опишите логически. Вроде точка в области, если она в фигуре А, но не фигуре Б; или в фигурах В и Г, или в фигурах Д и Е.

Далее перевести это в код - это один if с кучей условий объедененных логическими или (||) или логическими И (&&).

Надо ввести какую-то метрику - какая-то числовая оценка, которая говорила бы вам, почему [[1,2],[3,4],[5,6]] лучше чем [[1,2,3,4],[5],[6]]. Например, можно взять максимальную разность двух чисел в любой группе. Или сумму квадратов расстояний от всех чисел до среднего в их группе. Или минимальное расстояние между числами в разных группах (это надо максимизировать).

Потом можно применять какой-то из известных методов кластеризации, в зависимости от выбранной метрики. В случае одного измерения, как у вас (просто числа) можно еще применить и динамическое программирование. Этот метод работает для практически любой вменяемой метрики. Считайте функцию F(n,k) - лучшая возможная метрика если первые n чисел разбить на k групп. Для пересчета надо перебрать, сколько чисел идет в последнюю группу (i), и пересчитать метрику на основе F(n-i, k-1). из всех вариантов выбрать лучший.