Vitaly Karasik

почему бы не настроить сервера так, чтобы один из них был "главный", а остальные два просто тянули с него все изменения через rsync?

Потому что не принято полагаться на статичность серверов.
Можно сделать или standalone скрипт, или на основе Jenkins (CircleCI или десяток остальных) который будет:
git pull
npm build
rsync на список серверов

MySQL умеет хранить пароли зашифрованными в конфигурационном файле.
Для использования

mysql --login-path=profile

Для конфигурации

mysql_config_editor set --login-path=profile --host=localhost \
--port=3306 --socket=/path/to/socket --user=root --password

Подробнее - https://www.speedemy.com/create-mysql-login-path/ или MySQL доки

В целом согласен с Дмитрием.
Вот здесь https://medium.com/@tobiashn/putting-a-laravel-app... разобран примерно ваш случай. Вот еще https://laraveldaily.com/how-to-deploy-laravel-pro...
Как и всегда, есть как минимум десяток способов сделать это, и каждый будет хвалить то, что использует.
Когда поймете принцип, то можно и на шелле скрипт написать :-)
Так что начните с GitLab CI.

>Пока это должен быть mysql или mssql или в крайнем случае postgresql
Как уже написали, это несложно сделать (или самостоятельно, или используя managed DB от DO, AWS, Google Cloud и прочих), но при одном условии - есть один сервер, в котором можно обновлять данные, все остальные - read-only.
Если требуется писать в разных регионах, все сложнее.

Мой ответ - зависит от того что вам нужно - ставить один редкоменяющийся image на сотню компьютеров каждый день или для каждой из сотни инсталляций нужно кастомизировать систему.
В первом случае - можно сделать image и просто ставить его через PXE, во втором - трудно обойтись без Ansible/Chef/Puppet.
Дополнительно - Vagrant, Foreman.

Посмотрите на Zenoss - несколько лет назад он был удобнее Zabbix'a.
Но я в последние годы стараюсь не возиться с on-premise. Проверьте NewRelic - у него есть много продуктов, от инфраструктуру до веба, включая APM.