Все зависит от того, что вам нужно. Если нужно отправлять запрос немедленно, то пихаете отправку запроса везде, где вам нужно что-то отправлять, если когда это произойдет неважно, то везде пихаете постановку отправки в очередь, а обработчик очереди отправит запрос уже потом, когда до него доберется.
Пихать конечно же надо везде, где это должно происходить: должно в куче контроллеров, значит пихаете нужный вызов в кучу контроллеров, только в одном - пихаете только в него.
Естественно, отправка запроса или постановка в очередь должна быть вызовом нужного метода отдельного класса, а не повторяемой везде последовательности некоторого количества строк, реализующих необходимое действие. Но, если все ваши контроллеры являются потомками одного общего предка, то можно описать этот метод в нем. Для работы с очередями, кстати, в Laravel есть все необходимое.