Легче всего реализовать прямую отправку данных из формы в попапе сразу в сервис рассылки. У всех нормальных сервисов для рассылок есть API и документация с описание методов, а у некоторых сервисов для рассылок есть генераторы попапов. Преимущество такого способа в том, что в сервисе для рассылок можно настроить любую серию писем, которая отправляется сразу после подписки (т.е. отправки данных из формы в серсвис), в том числе и письмо с большой кнопкой "отписаться". Плюс можно потом по API забирать данные подписчиков в другие системы, например в CRM.
Либо можно сделать наоборот - сначала отправлять данные из формы на сайте в CRM, а затем из CRM в сервис для рассылок по API.
Если пойдете по первому варианту, рекомендую сервис
mailganer, в нем есть встренный генератор попапов с гибкой настройкой правил показа формы посетителям сайта. Все данные из формы сразу отправляются в список подписчиков, можно настроить автоматическую отправку письма после подписки.