Big_F, антивирус антивирусу рознь, если доступ пропадает со всех компов одновременно, значит блокируется со стороны сайта. Вопрос почему? Возможно в Вашей локалке поселился вирус на виндовых машинах, который создаёт активность, на основании которой со стороны сайта происходит блокировка, я об этом. Попробуйте прогнать Ваши виндовые машины бесплатными тестовыми утилитами производителей антивирусного ПО (cureit, kaspersky removal tool, malwarebytes). Хотя бы один комп
Проверьте ваши компы с виндой на вирусы, возможно на сайте, или на промежуточной сети к сайту установлены средства защиты, которые распознают трафик с Вашего ip как вирусный и в результате включается блокировка, а один из Ваших компьютеров посылает на сайт вирусные запросы
Маршрутизацией этот вопрос не решается. Нужен прокси-сервер, либо разделение сети и тогда маршрутизация, либо наиболее извращенный метод: комп с линуксом делаем для всех шлюзом по умолчанию, а на нем уже натим весь трафик его же собственным ип из локальной сети и уже потом отправляем на микротик. Но лучше всего ответить на вопрос "зачем это нужно", и на основании ответа выбрать стандартный подход.