Интернет через модем к делу отношения не имеет. Проверьте компьютер бесплатными утилитами производителей антивирусного ПО, либо приобретите полноценную антивирусную программу. Взломать могли разными способами, скорее всего открыли какое-то емэйл сообщение или зашли на какой-то вредоносный сайт, или скачали какой-то левый софт, вариантов тьма
Поднимите сервер бд на той же машине что и веб-сервер. В принципе, учитывая что большой нагрузки на этот проект не предвидится, можно выбрать любой из озвученных Вами вариантов. Поэтому выберите тот в котором лучше разбираетесь.
ЗЫ: устанавливая на уже работающих серверах постарайтесь ничего не сломать
Скорее всего указан неверный механизм авторизации в веб-версии. К сожалению дать точный ответ на Ваш вопрос невозможно, поскольку Вы не указали какой почтовый сервер используется, какой веб-клиент используется, какие настройки указаны в thunderbird, есть ли какие-то логи ошибок авторизации на почтовом сервере.
Maks1995, предпоследняя строка на скриншоте, динамический маршрут. Как поменять не знаю. Наверное можно попробовать временно отключить второй маршрут, либо поставить ему дистанцию не 1 а 2 например, но не уверен.
PS: либо попробовать продублировать этот маршрут с прямым указанием source