Геннадий Круглов

Напишите дополнительную глобальную обработку исключений (try/catch) и пишите, например, в текстовый файлик, в том же каталоге, что и exe-шник - текст ошибки. Если после выполнения приложения туда что-то запишется - будет от чего отталкиваться.

Навскидку сложно сказать в чем проблема. Может у вас пути в реестре на целевом ПК не соответствуют ожидаемым. Может на целевом ПК вообще .Net не установлен. Хотя, если вы уверены, что приложение запускается и отрабатывают 4 метода, последнее исключено. Но только если вы в этом уверены.

Если под винду, то почитай про WinApi и взаимодействие с ним.

не смотря на то, что переменные приватные

Приватные поля на то и приватные, что к ним можно обращаться только в рамках класса.

Не совсем понятно, в чем заключается сложность. Вы можете сделать публичный сеттер для свойства Speed или написать публичный метод SetSpeed(float speedValue), через который, в клиенстком коде, менять значение поля speed.

1. Использовать большую хэштаблицу, где в качестве ключа будут координаты полигона, а в качестве значения ссылка на сам полигон. При клике мыши - брать координаты курсора и за о(1) доставать по ним из таблицы все нужные полигоны, сдвигая координаты вниз.
2. Можно разнести информацию на несколько Json'ин, чтобы уменьшить размер файла и хранить в том документе который будет перезаписываться только ту информацию, которую нужно постоянно перезаписывать (в моем понимании - это координаты). Можно это хранить тупо в бинарном файле, и записывать подряд числа координат, а не JSON.

А в каком языке вы понимаете оператор return?
Этот оператор возвращает значение функции.
В данном случае функция getRectArea возвращает произведение параметров with и height.
Правда код немного с запахом.

В широком смысле API - это программный интерфейс.
https://ru.wikipedia.org/wiki/API
Если предельно упрощать, то это набор функций, которые кто-то за тебя разработал и "выставил наружу", а ты, в свою очередь, в случае, например с Web Api можешь их вызвать через http запрос и получить результат в ответ.
Как раз в http и существует такое понятие как GET и POST запросы. Почитайте на вики, подробнее про http. И вообще советую почитать литературу по сетям. И как они устроены. Хотя бы про стек TCP/IP.
ASP.net Web Api - это уже конкретное решение для конкретного фреймворка .NET. С его помощью ты сможешь сам разрабатывать Web Api. Но не обязательно. Web Api можно писать и на python'е и на PHP и даже на js.
MVC - это паттерн проектирования. Model View Controller. Он никак не связан с Web Api, но у microsoft есть готовая реализация этого паттерна в качестве шаблона проекта asp.net и называется так же. С помощью него, можно, например, разрабатывать SPA приложения, которые предоставляют/используют Web API.

По факту вы описываете типичную логику работы любого SPA.
Можно посмотреть в сторону существующих js-фреймворков для SPA, например Angular, React, Vue, тысячи их.

Т.к. это поле является первичным ключом -
скорее всего в модели данных, для EF вам нужно настроить для него StoreGeneratedPattern равный identity.

миллионом способов.

Это по факту и есть массив объектов.

Я думаю, имелось в виду то, что прямоугольник более широкое понятие, чем квадрат.