Максим Федоров

для уровня вложенности категория->подкатегория
можно сделать так:
SELECT products.*, categories.cat_url, categories.cat_name
FROM products INNER JOIN categories
ON categories.id = products.cat_id
WHERE categories.cat_url = :category_url OR
categories.parent in (SELECT id FROM categories WHERE cat_url = :category_url)

но если у Вас уровень вложенности больше рекомендую ознакомится с подходом Nested set или прочими подходами для работы с деревьями

в зависимости от цели, можно сделать либо двумя запросами:
INSERT INTRO arhive_table (field1, field2) SELECT field1, field2 FROM table WHERE <тут условие>;
DELETE FROM table WHERE <тут условие>;
либо реализовать партицирование (этот способ будет оптимальнее) https://habrahabr.ru/post/66151/

SELECT DISTINCT(maker) FROM product WHERE type LIKE "PC%" AND NOT LIKE "Laptop%"

так а что мешает просто сделать?
SELECT max(`eng_id`) FROM `engagements` WHERE `eng_ur`=1234

в данном случае fio это алиас, MySQL не умеет делать WHERE по алиасам, поэтому фам нужно
либо переписать конструкцюю WHERE на
WHERE concat(user_name, " ", user_surname, " ", user_patronim) like 'Абв%'
либо вместо WHERE использовать конструкцию HAVING, например:
HAVING fio like 'Абв%'

SELECT * FROM employee WHERE id NOT IN (SELECT employee_id FROM employee_departament WHERE departament_id = 7)

так а что мешает сделать двойную сортировку, аля ORDER BY status ASC, date ASC ?

Давайте по порядку:
1. Любые индексы служат для оптимизации выборок и не более, посредством создания специальных хеш-таблиц.
2. Разница в обычных индексах и уникальных лишь в механизме выборки. Делая выборку по уникальному индексу - поиск завершится сразу же при нахождении первого подходящего значения, что обеспечивает по скорости некоторое преимущество по сравнению с обычными индексами
3. Первичный ключ - в принципе можно сказать что он работает как и уникальный индекс, но помимо оптимизации поиска, он так же еще обеспечивает уникальность хранимых данных.

Соответственно Вам нужен - первичный ключ

SELECT object_id, count(term_taxonomy_id) FROM tablename WHERE term_taxonomy_id in (10, 14) GROUP BY object_id

достаточно полю присвоить значение NULL если заказ оформляет не зарегистрированный пользователь

у Вас по всей видимости поле интовое. Вы пытаетесь запись число 234523452345 которое выходит за пределы максимально допустимого значение инта в MySQL. Соответственно в такой ситуации MySQL приводит число 234523452345 к максимально допустимому (а это 2147483647) и добавляет запись в базу. При второй попытке вставить данные выходящие за предел типа - выполняются такие же операции в результате чего и появляется ошибка.
Как вариант используйте UNSIGNED INT или bigint

таблица users (если Вы конечно планируете работать с пользователями) должна содержать идентификатор пользователя и необходимую Вам информацию о пользователе
таблица orders - должна содержать идентификатор заказа, идентификатор пользователя оформившего заказ, и прочую необходимую информацию о заказе (возможно способ доставки/оплаты и т.п.)
таблица order_items - должна содержать сам перечень товаров в заказе. Соответственно по каждой позиции должен быть идентификатор заказа к которому относится позиция, и прочие параметры (кол-во, цена и т.п.)

да такая структура подойдет для Вашей задачи. Что касается хранения фоток, у Вас будет возможность прикреплять фото к объекту без раздела? и если да, то какое кол-во фото необходимо прикреплять не посредственно к объекту?

приведите пример структуры таблицы и опишите результат которого Вы хотите добиться. По результатам выборки сложно понять суть проблемы

SELECT * FROM table_name WHERE date BEETWEN '2016-04-01' AND '2016-04-15'
или по таймштаму
SELECT * FROM table_name WHERE date_utc BEETWEN UNIX_TIMESTAMP('2016-04-01') AND UNIX_TIMESTAMP('2016-04-15')