Пычев Анатолий

Попробуйте так

if ( 'name_list' == $orderby_value ) {
        $args['orderby'] = 'meta_value_num name';
        $args['order'] = 'ASC'; // (или 'DESC';)
        $args['meta_key'] = '_price';
    }

Для начала проверьте настройки отправки писем в Woo, вкладка Email. Должны стоять соотв. флажки.
Если все норм, то можно подключиться к хукам функции wp_mail и выгрузить в лог сообщения. Woo через нее отправляет письма. Тогда поймете, добегает ли вообще система до отпраки письма. Если добегает, то ищите дальше, woo ни при чем. Если не добегает идите назад и смотрите уже логи системы рассылки.

PS. Если тестите на локалке, то локальный сервер может не отправлять письма, а складывать их в какую то папочку. Уже смотрите настройки локального сервера.

Проще
Для заказа в один клик Вам корзина вообще не нужна.
- Отправляете AJAX-ом данные о товаре
- Создаете заказ, наполняете , оформляете
Как пример

$qorder = wc_create_order();

	if ( 0 === $params['type'] ) { /* simple */
		$product    = wc_get_product( $params['id'] );
		$item_id    = $qorder->add_product( $product, $params['qty'] );
	} elseif ( 1 === $params['type'] ) { /* variable */
		$variations_array = array();

		$var_product                   = new WC_Product_Variation( $params['var_id'] );
		$variations_array['variation'] = array(
			$params['attr_name'] => $params['attr_value'],
		);

		$item_id    = $qorder->add_product( $var_product, $params['qty'], $variations_array );
	}

	$qorder->set_address( $address, 'billing' );
	$qorder->set_address( $address, 'shipping' );

	$qorder->calculate_totals();
	wc_reduce_stock_levels( $qorder->get_id() );
	$qorder->update_status( 'processing' );
	echo 'Спасибо за заказ';

Как Вариант
Создайте категорию "Горячее предложение" в которую будете класть товары
Добавьте на сайдбар HTML виджет и в виджет выведите стандартный woo шорткод для созданной категории
Если нужна другая верстка, то хуками перенаправьте на свой шаблон, или создайте свой шорткод и выводите свой HTML.

Уберите знак амперсанда перед this array( &$this, 'add_custom_html' )
Проверьте подключен ли Ваш класс и вызывается ли конструктор
Добавьте область видимости public к Вашей функции обработчику хука.