Виктор

Есть такая маленькая утилитка - Unlocker называется (последняя версия 1.9.2). Она работает "из-под админа" и удаляет любую папку или файл, как бы крепко они ни были заблочены по доступу.
И этот способ быстрее, чем разбираться с каждым отдельным удалением, как там стать владельцем.

Питание BIOS тут не при делах. Буквально позавчера принесли аналогичный случай - не включается. Проверил цепь кнопки включения - обрыв. Проверил соответствующий провод - оборван на пайке вывода кнопки. Внешне место обрыва выглядит как сгнивший провод (коррозия). Диагноз - заводской брак из-за применения активного флюса при пайке.
Ещё один вариант - если при замене таблетки питания BIOS случайно отсоединилось подключение этого провода к материнке, то при возвращении его на место он мог быть подключён не туда, куда надо.

Террабайтный - это мой основной на ноуте, речь идет о внешнем на 500гб

Из первоначальной формулировки вопроса никак не следовало, что речь идёт о внешнем диске, и на скриншоте нет на это намёков. В другой раз формулируйте тщательнее, мы ведь не телепаты. Но спасибо за уточнения.

Или придется вытаскивать из под LiveCD данные и форматировать?

Может, придётся, а может, и нет. Поскольку придётся запускать ремонтно-восстановительные утилиты с вашего LiveCD, то сами решайте, откуда это удобнее - из основной ОС, либо с LiveCD (так как проблемный диск внешний, то это без разницы).

Какой алгоритм решения проблемы? И есть ли он?

Я бы начал с запуска любого продвинутого менеджера разделов, чтобы убедиться, что на месте исчезнувших разделов диска появилось незанятое пространство (в принципе разметку диска на разделы можно увидеть и с помощью системной утилиты "Управление дисками", но вот незанятое пространство она показывает невнятно). Должно быть что-то наподобие вот такого скриншота:

Далее надо попробовать восстановить исчезнувшие разделы с помощью опции"Восстановление разделов", которая есть в таких менеджерах разделов, как парагоновский HDM, AOMEI Partition Assistant (полагаю, и в других тоже). Если это не получилось, воспользоваться специализированными инструментами для восстановления разделов (на моём LiveUSB, который называется MultiBoot, меню "Восстановление разделов" начинается с утилит Active@ Partition Recovery, O&O Disk Recovery и далее содержит их ещё с десяток).
И лишь если эти хлопоты не дали результатов, только тогда приступать к спасению полезной инфы на удалённых разделах утилитами наподобие Recuva и R-Studio, после чего форматировать диск.

Лобовое решение - использовать старый 8-битный LPT-порт, который есть даже на многих современных компах (в скрытом состоянии, в виде гребенки на материнке), и каждый из битов которого легко управляется программно, записью нулей и единиц в соответствующие регистры порта. Логические сигналы, выдаваемые битами порта, надо подать на базы/затворы транзисторных ключей, коллекторы/стоки которых подключить параллельно вашим кнопкам. На этой схеме показаны два варианта такого управления - привязанный к общей массе и развязанный через оптрон:

Этот способ даёт простую возможность управлять от компа 8-ю нагрузками. Если их нужно больше, придётся придумать мультиплексирование. Самый простой вариант - убавить число выходных каналов порта до 7, количество ключей увеличить до 14 (как вам и нужно), а восьмой бит порта использовать для переключения двух групп по 7 ключей: при нуле - с 1 по 7, при единице - с 8 по 14. Но такое простое решение не позволит использовать ключи первой и второй групп одновременно. Чтобы сделать возможным одновременное управление таким количеством ключей, управляющие сигналы придётся запоминать в триггерных регистрах, а это уже сложнее.

А чего их создавать? Готовые есть, включающие в себя всё нужное и ещё много сверх того. Как говорится, скачай и пользуйся.
Лично я несколько лет пользуюсь сборкой MultiBoot 2014 года, имеющей на борту несколько версий WinPE (на базе от XP до Win8, не запустится одна - запускаем другую, какая-то обязательно пойдёт), несколько установочных образов Винды (от XP до Win8.1, 32/64 всех версий - от Home до Pro и Ent, чистота, т.е. отсутствие довесков от автора сборки, проверена на практике), несколько сотен утилит в ремонтно-восстановительном пакете 2k10, а также наиболее часто применяемые утилиты доступны прямо из корня. Эта сборка немного устарела (нет поддержки UEFI, и нет образа Win10), но автор уже исправил это и создал современные версии. Они (и множество других) доступны на Рутрекере (раздел "Сервисное обслуживание компьютера").

Кладезь информации на эту тему находится вот здесь. На данный момент 50 страниц - вполне подъёмно прочитать все.

Подскажите как проверить HDD, SSD и раз этим занимаюсь то и обычные флешки тоже.

См. ответ от Дмитрий, хотя насчёт флэшек я с ним не соглашусь - они тоже проверяемы тем же софтом.

Как им продлить жизнь?

Присоединяюсь к ответу АртемЪ.

Можно ли как-то отметить области как поврежденные, чтоб скорость всегда была высокая, пусть и останется от полного объема половина или меньше.

Тут я с АртемЪ не согласен, такая возможность есть: разбить проблемный носитель с помошью Acronis DD или Paragon HDM на разделы, оставив битую зону как нераспределённое пространство. Но это не панацея, такой диск всё равно останется ненадёжным хранилищем.

Тут в качестве правильного образа действий рекомендуют установить Win7/8 (8.1) и проапгрейдить до Win10. Это верно. Но потом почему-то цепляют сюда невозможность сделать это на маленьком диске.
Докладываю: мне удалось проделать такое даже не на 60-Гб, а на одночиповом 24-Гб SSD-диске, изначально предназначенном для кэша обычного HDD. Как вам ни покажется странным, всё поместилось, со всем нужным софтом ещё и свободно от половины до трети диска (что является необходимым условием нормальной работы SSD):
1. Сначала проделал апгрейд до Win10 на системе, штатно установленной на HDD.
2. Удалил оттуда весь мусор (копию старой ОС и пр. - его там много), добиваясь того, чтобы системный раздел вписался в 24 ГБ. Реально удалось добиться менее 20 ГБ.
3. Склонировал системный раздел на 24-гигабайтный SSD и убедился в его работоспособности.
4. После этого кэши, времянки и своп перенёс на диск D, в качестве которого остался HDD, и установил весь нужный софт. Свободное место на SSD теперь колеблется от половины до трети объёма, время старта ОС от нажатия ВКЛ до появления Рабочего стола - 14...15 секунд.