Виктор

цепь должна быть замкнута.

Это верно. Чтобы по эл. цепи шёл ток, она неизбежно должна иметь топологию замкнутого кольца.

Замыкается она в этой схеме, как я думаю, через емкость антенны и земли (получается, что одна обкладка конденсатора - антенна, вторая - земля).

Это тоже верно.

Но что мешает течь току по цепи антенна - колебательный контур?

Сформулировано невнятно. Так или иначе, цепь антенны замыкается через ёмкость между антенной и заземлением, или второй половинкой антенны, если она симметричная (как на СВЧ).

почему в обычных радиоприемниках мы не наблюдаем проводов, идущих в землю?

В радиоприёмниках с питанием от электросети роль заземления играет эта самая электросеть, поскольку ёмкость между обмотками питающего трансформатора довольно значительна. А для аппаратов с короткой выдвижной антенной заземлением является его корпус или тело человека, держащего аппарат в руках. Чрезвычайно малая эффективность такой антенны компенсируется высоким усилением приёмника.

что мешает поставить рамочную антенну, которая сама будет замыкаться на себя?

Это самый интересный вопрос, требующий развёрнутого ответа.
Детекторный приёмник не имеет усилителей и располагает только той энергией, которая пришла с принимаемым сигналом. По этой причине в нём применяется т.н. "открытый" колебательный контур, ёмкостная часть которого должна охватывать большое пространство - энергия собирается из объёма между антенной и землёй (единицы и десятки кубометров). Для электрической составляющей ЭМ-поля собрать побольше энергии нетрудно, достаточно разнести антенну и заземление пошире (разумеется, с учётом требуемой ёмкости и добротности контура). С антенной, принимающей магнитную составляющую ЭМП (т.е. рамочной и ферритовой), это сильно сложнее по конструктивным соображениям - достаточно представить себе рамку объёмом несколько кубометров.
Так что применить магнитную антенну в детекторном приёмнике мешает её малая эффективность - усилителя в нём нет, и нечем её компенсировать.

Для антенн электромагнитного поля характерен принцип обратимости. Это означает, что на приём и передачу антенна ведёт себя совершенно одинаково.
Какую диаграмму направленности вы получили на приём, такую же (можете не сомневаться) она продемонстрирует и при передаче. Это широко используется при настройке антенн очень мощных передатчиков, чтобы зазря не мучить технику и окружающее пространство.

сигнал пришедший под углом в 90 градусов уже будет частично или полностью заглушен?

Как правило, диаграммы направленности антенн (даже узконаправленных) многолепестковые, так что скорее частично, чем полностью.

вертикальный и горизонтальный углы излучения 60 градусов,

Форма лепестков округлая, без резких изломов, так что принято считать границы этих лепестков по уровню 30% от максимума, который излучается по оси антенны. На ваших 90 градусах может оказаться как доли процента, так и 10...15%.

эффективный приём антенна ведёт в том же диапазоне

Если антенна многодиапазонная, то её ДН в разных частотных диапазонах отличается, иногда довольно сильно.

Мы, конечно, не телепаты, но погадать, зачем вам этот усилитель, можем. Например, гадая по вашей ссылке, можно предположить, что вы, умощнив передатчик с его помощью, хотите увеличить дальность связи. Но у линии связи два направления (туда и обратно), и в обратном тоже надо ставить такой же усилитель, а если тот конец линии связи вам недоступен, то настолько же увеличивать чутьё вашего приёмника, насколько поднимаете мощность передатчика (иначе, передав данные, вы рискуете не получить ответ). Всё это - неслабый гемор.
Поэтому вместо возни с электроникой, вам стоило бы обратить внимание на другие способы добиться того же. Лучший (по всем критериям) из этих способов - усовершенствование антенны: она обслуживает одновременно оба направления, она дешевле (или проще в изготовлении, настройке, монтаже) и надёжнее.

Если найденные прямоугольные структуры на плате таки есть вторая антенна

Разумеется, это она.

1) Куда она светит? "Гантелей" перпендикулярно плоскости платы? Было бы логично прикрыть подслеповатые "полюсы" штыревой антенны, особенно в частном доме с тремя этажами и подвалом...

Поскольку форма её не является регулярной, а представляет собой набор проводников произвольной длины и ширины, вряд ли можно достаточно точно прикинуть её ДН "на глаз". Думаю, тут и математика не всякая справится. Ну, для начала в первом приближении считайте её шаровой. Паузы штыревой она при этом заполнит при любом наклоне штыря.

2) В каких пределах обычно находятся КУ таких антенн на плате? Предположу, что он очень малый.

Правильно предполагаете. Вряд дли там даже 5 дб есть.

3) Если отвинтить внешнюю штыревую антенну на 5dBi и прикрутить "хлыст" на 8-10dBi, электронику на плате не стошнит от такого издевательства?

Абсолютно не стошнит, я такое не раз делал. Надо только по возможности точнее согласовать антенну с кабелем 50 ом, чтобы не допустить стоячих волн. Ну и расположить новый штырь так, чтобы максимально эффективно использовать его блинообразную ДН, а в тех направлениях, где она имеет провалы, понадеяться на слабенькую встроенную.