Виктор

Хотелось бы интегрировать в уме, получая правильные ответы.

В прикладном смысле - нет ничего проще, любой толковый инженер-конструктор рассчитывает приблизительное численное значение интеграла по несколько раз на дню. Тут дело в том, что интеграл - это просто площадь фигуры, образованной графиком функции в заданных границах, а прикинуть площадь фигуры можно даже на глазок с достаточной для практики точностью.
Кроме того, не надо забывать, что интеграл - это просто-напросто сумма (не зря же он обозначается вытянутой буквой S). Если фигуру графика функции можно выложить из соприкасающихся вплотную прямоугольников (а площадь прямоугольника рассчитывается в уме за полторы секунды), то сложив их площади, вы и получите искомое численное значение интеграла этой функции. Чем меньше будет пропусков в этом выкладывании, тем точнее полученное значение интеграла.
Продолжение в комментариях к тексту вопроса.

Добавлю ещё один ответ - может, именно его автор вопроса отметит решением. Я заметил, что у него проблема с понятием "радиан". Угол величиной один радиан - это угол в 57 с четвертью (приблизительно) градусов. Откуда он взялся - это угол, у которого радиус равен длине дуги. Линейная мера при этом сокращается, и угол остаётся неизменным, какой радиус ни возьми. Поэтому в формулы радиус не входит.
Величина этого угла взялась не просто так, а из математических формул, по которым выходит, что полная окружность (360 градусов) содержит 6,28...(и так далее) этих самых радиан. Нам, помнится, этот вывод давали на первом курсе в "Основах высшей математики". И в электро/радио-технических приложениях высшей математики этот самый "два пи радиан" входит практически везде.