Почему за время, равное периоду обращения угол поворота радиуса-вектора равен 2π? Откуда взялось π именно в этой формуле?

Question

[Daniil Bakhin]

Откуда взялось π в формуле угловой скорости?
Как выводится эта формула?

Comments

[Moskus]

Как эта формула должна выглядеть на ваш взгляд? И что значит "как преобразовалась" - из чего преобразовалась?

[Daniil Bakhin]

Формула угловой скорости равна 2π/T.
Почему она не равна 2πR/T?
Ведь тело совершает один полный оборот, равный длине окружности.
Длина окружности равна 2πR.
Куда по сути делся R?

[Moskus]

Daniil Bakhin, отличие угловой скорости от линейной - в том, что измеряется изменение угла, а не пройденный путь. Возьмите циркуль, раскройте на два сантиметра, нарисуйте круг за десять секунд. Сделайте то же самое, но раскрыв циркуль на четыре сантиметра. Угловая скорость будет та же самая. Влияет ли на нее радиус?

[Moskus]

Daniil Bakhin, у вас в голове, похоже, смешались идеи угловой скорости и линейной скорости при движении по окружности.

[Daniil Bakhin]

Moskus, я вообще не представляю, как учить физику.
Не хочу зубрить формулы, а хочу понять- откуда они выводятся.
Боюсь вот таких ступоров, и желание учить физику сразу пропадает.
Может литературу конкретную посоветуете ?

[Moskus]

Daniil Bakhin, "учить" физику - бессмысленно, потому что это как раз означает "зубрить". Изучение физики, по крайней мере, в самом начале, когда речь идет о механике, заметно проще для любого, кто не слеп: вы можете просто посмотреть на изучаемое явление, невооруженным глазом. Именно так, как я вам предложил выше. Повторю еще раз: угловая скорость не связана с радиусом дуги (окружности), потому что измеряет не пройденный путь, а пройденный угол. А угол, в данном случае, измеряется в радианах. Сколько радиан в полной окружности (одном полном периоде обращения)? Не пытайтесь прицепить к рассуждению посторонние знакомые формулы только потому, что там есть число π.

Answer 1

[Виктор]

Добавлю ещё один ответ - может, именно его автор вопроса отметит решением. Я заметил, что у него проблема с понятием "радиан". Угол величиной один радиан - это угол в 57 с четвертью (приблизительно) градусов. Откуда он взялся - это угол, у которого радиус равен длине дуги. Линейная мера при этом сокращается, и угол остаётся неизменным, какой радиус ни возьми. Поэтому в формулы радиус не входит.
Величина этого угла взялась не просто так, а из математических формул, по которым выходит, что полная окружность (360 градусов) содержит 6,28...(и так далее) этих самых радиан. Нам, помнится, этот вывод давали на первом курсе в "Основах высшей математики". И в электро/радио-технических приложениях высшей математики этот самый "два пи радиан" входит практически везде.

Answer 2

[Griboks]

Угловая скорость - это отношение угла между начальных положением тела на окружности, центром окружности и конечным положением к времени движения по окружности из начального положения в конечное.
w=a/t
Введем понятие периода вращения. Это время T, за которое тело совершает полный оборот в 360 градусов или 2P радиант.
Тогда вычислим угловую скорость
W=a/t=2P/T.
Введем понятие частоты
V=1/T
Тогда
W=2PV,
Ч.т.д.
Проверка: за половину периода (двойную частоту) тело проходит половину окружности
W=2P/2*2V=2PV
Ученые не врут.

Comments

[Daniil Bakhin]

Да я не понимаю, почему W=2P/T. Куда делся R?

[Moskus]

Daniil Bakhin, что значит "куда делся"? Его там не было и не должно быть.

[Griboks]

Daniil Bakhin, определение угловой скорости: радианы / секунды. Где вы нашли метры?

[Daniil Bakhin]

Moskus, Почему именно 2П?
Я не понимаю, откуда это Пи здесь взялось?

[Griboks]

Daniil Bakhin, это обозначение 360 градусов в системе си

[Daniil Bakhin]

Griboks, СПАСИБО!
БОЛЬШОЕ ЧЕЛОВЕЧЕСКОЕ!

[Moskus]

Griboks, Daniil Bakhin, это не "обозначение 360 градусов", это "угол, эквивалентный 360 градусам", измеряемый в радианах. Угол в один радиан - это угол, у которого длина опирающейся на него дуги равна радиусу этой дуги. Потому дуга, эквивалентная полному кругу, и соответствует углу в 2π радиан.
Daniil Bakhin, у вас не только с физикой, но и с элементарной геометрией проблемы. Вы с понятием радиана знакомы вообще? Это не риторический вопрос, а вопрос, требующий ответа, как и все остальные, которые вам тут задали.

[Griboks]

Moskus, ну тогда уж это не "угол, эквивалентный 360 градусам", а значение угла в радианах, эквивалентное значению 360 градусов.

[Moskus]

Griboks, ок, "величина угла" :)

[Griboks]

Moskus, а вот и нет, это количественное значение величины угла в заданных единицах измерения)

[Moskus]

Griboks, говорить "величина угла" или "размер угла" применительно к значению 360 градусов или 2π радиан - нормально.

Answer 3

[Zzzz9]

Лето блин какая угловая скорость?

Ты посчитай или представь себе угол в 6,283185307179586476925286766559 радиан, может понятней станет.

Answer 4

[Mercury13]

Определение π: отношение длины окружности (P) к диаметру. То есть P=2πR.
Определение радиана: дуга, равная радиусу. Из предыдущей формулы полный оборот = 2π радиан.

Угловая скорость измеряется в угловых единицах в секунду. Из-за удобного преобразования из угловых единиц в линейные и наоборот в науке широко используют радианы, которых в полном обороте 2π.

Если T = секунд/оборот, то T/2π = секунд/радиан, и 2π/T = радианы/секунду. Вот и всё.
Хотите в градусах? Пожалуйста! T/360 = секунд/градус, и 360/T — градусы/секунду.