скорее всего API ошибка вида XMLHttpRequest cannot load https://api.direct.yandex.ru/v4/json/. No 'Access-Control-Allow-Origin' header is present on the requested resource. Origin 'домен' is therefore not allowed access.

ну так вот вам и ответ. Собственно то, с чего я начал: браузер блокирует кросс-доменный ajax запрос. Вкратце: не думаю, что получится заставить Яндекс отдать нужный заголовок (Access-Control-Allow-Origin). Вывод: нет, с другого домена не получится сделать ajax-запрос к api яндекса.

Технология проста как армейский устав: выбираете готовую галерею и инклюдите на страницу через <script src="..."></script>. Дальше надо разбираться уже по месту.

А вообще говоря, выбирайте галерею (отсюда например: www.queness.com/post/633/30-javascript-image-and-p... ), а дальше уже будем разбираться с возможными трудностями.