Смотрите, сейчас у Вас уже написан вывод результатов в шаблон admin/test.blade.php в контроллере
public function search(Request $request)
{
$name = $request->input('Name');
$item = DB::connection('555')->table('Shop_Goods')->where('name', 'LIKE', '%' . $name . '%')->get();
return view('adminka.test')->with($name, $item);
}
Тут нужно только создать этот шаблон, добавить в него инклуд секций и базового лейаута и вывести $name и $item в шаблоне.
Единственное что создавать урлы такого плана (search1) это плохо, лучше заменить чем-то более человекопонятным и без цифр (можно даже разделить один урл search на GET /search и POST /search с привязкой к разным экшенам).