dim5x

Использовать multiprocessing?

from multiprocessing import Process

...
if __name__ == '__main__':
    while True:
        processes = []
        processes.append(Process(target=main, args=('https://rust.tm/item/5358808098-0-Shipping%20Container%20Garage%20Door/', 'Shipping Container Garage Door', 60)))
        processes.append(Process(target=main, args=('https://rust.tm/item/5518269987-0-Abyss%20Vest/', 'Abyss Vest', 140)))
        processes.append(Process(target=main, args=('https://rust.tm/item/4136069987-0-Weather%20Large%20Wood%20Box/', 'Weather Large Wood Box', 100)))

        for process in processes:
            process.start()

        for process in processes:
            process.join()

        time.sleep(5)  # Задержка перед следующим циклом

Так?
Написать класс, где будете обрабатывать ошибку и передать его в exception_handler при инициализации бота.

import telebot


class ExceptionHandler(telebot.ExceptionHandler):
    def handle(self, exception):
        print('Ооооошибка 409!:', exception)
        return True

bot = telebot.TeleBot('YOUR_API_TOKEN', exception_handler=ExceptionHandler())
bot.polling(none_stop=True)

Есть несколько моментов:
1. Про длинный кусок кода: он и не будет работать так, как вы хотите, потому что вы передаёте аргумент with_extra_data=True в свою самописную функцию, а в parser.get_flats() - нет. Соответственно он и не парсит дополнительные поля, отсюда и: "пробовала вывести ключи: смотрю, а их там тупо нет".
Должно быть:

data = parser.get_flats(deal_type=deal_type, rooms=rooms, with_extra_data=True,  additional_settings={"start_page": page, "end_page": page})

2. Если вы действительно использовали эти прокси (а не просто привели их для примера), то это бессмысленно - они нерабочие. Прокси из свободного доступа редко долго живут, а тут они вообще из примера на pypi.org / github.

3. Вёрстка сайтов постоянно изменяется, в том числе и для противодействия парсингу. Текущая версия циана не имеет<span> c текстом "Тип жилья", а именно такой селектор использовался в библиотеке парсера, следовательно он всегда будет отдавать -1 для object_type.

4. Если вы всё-таки хотите парсить сайт, используя cianparser, то вам нужно внести несколько изменений в файл библиотеки: "Путь до вашего проекта\venv\Lib\site-packages\cianparser\flat\page.py".
В функцию__parse_flat_offer_page_json__(self)после инициализации словаря page_data, добавить:

ot = self.offer_page_soup.select_one('[data-name="OfferSummaryInfoItem"] p:nth-of-type(2)').get_text()
page_data["object_type"] = ot

и закомментировать строчки:

# if "Тип жилья" == span.text:
#     page_data["object_type"] = spans[index + 1].text

Результат:

С одним циклом:

num_1 = None
num_2 = None
effect = None

while True:
    if num_1 is None:
        input_value = input("Введите первое число: ")
        if input_value.isdigit():
            num_1 = int(input_value)
        else:
            print('Вы ввели не число!')
            continue

    if num_2 is None:
        input_value = input("Введите второе число: ")
        if input_value.isdigit():
            num_2 = int(input_value)
        else:
            print('Вы ввели не число!')
            continue

    if effect is None:
        input_value = input(
            "Напишите что вы хотите сделать (отнять, прибавить, умножить, разделить, возвести в степень, целое деление, остаток от деления): ")
        if input_value in ("+", "-", "*", "/", "**", "//", "%"):
            effect = input_value
            break
        else:
            print('Нету такого действия!')
            continue

# Выполнение операции
if effect == "+":
    print(num_1 + num_2)
elif effect == "-":
    print(num_1 - num_2)
elif effect == "*":
    print(num_1 * num_2)
elif effect == "/":
    print(num_1 / num_2)
elif effect == "**":
    print(num_1 ** num_2)
elif effect == "//":
    print(num_1 // num_2)
elif effect == "%":
    print(num_1 % num_2)

Очевидно потому что config.getint("User", "id") возвращает тип int, а у данного типа нет метода (атрибута) 'send'.
Следовательно user_id.send("Ваша заявка была одобрена") вызовет ошибку выше.

Отправлять как-нибудь так:

user = await bot.fetch_user(user_id: int) 
await user.send(message)

В любом замыкании в Python переменные связываются по имени.

l = []
for i in range(3):
    l.append(lambda: i)
print([f() for f in l])
>>> [2, 2, 2]

Выход из ситуации — создание отдельной функции или передача аргументов по их имени:

l = []
for i in range(3):
    l.append(lambda i = i : i)
print([f() for f in l])
>>> [0, 1, 2]

Т.е. это не вопрос в потоках.