Laravel это пока лучшее, что я видел во фреймворках "для новичков". Да, придётся неделю-две поразбираться, что и как, но куча видео, статей и мануалов. Симфони не советую, так как он, на мой взгляд, сложнее.
По бэкенду сказать сложно, так как может быть написано на чём угодно. Явных признаков какого-то фрейморка или системы нет, но судля по ответу сервера это PHP.
На фронтэнде используется Angular.
Сохраняйте в hidden-поле айдишник записи для каждой строки и по нему потом обновляйте в БД. Хотя, конечно, код далёк от идеала и желательно ещё какие-нибудь токены использовать (но это тема отдельного вопроса).