Дмитрий Матвеев, вы указываете ящик отправителя, который не относится к домену вашего сайта? Если ваша почта на сервисах почты яндекса, майла и т.д., в этом случае режет получение на стороне их серверов.
mills, хостинг это сервер, а сервер обслуживается хостингом, на нём есть набор ПО, которое обновляется. MySQL это составная часть ПО сервера. От качества услуг хостинга напрямую зависит работоспособность сайта, любого. У хостинга есть поддержка, вам туда. Если поддержка не может решить проблему с хостингом, меняйте хостинг.
П.С. Пять лет назад я меня была новая машина (сайт), а сегодня у неё сломался двигатель (т.е. MySQL). Что нужно чтобы машина поехала снова?
mills, причин ошибки может быть много и уже видно что проблема явно выходит за рамки тостера. Есть два пути, восстановиться из бекапа, или нанять специалиста, который проведёт обследование и решит проблему.