Как вариант: проблема, связанна с редиректом, например, когда пытаются убрать index.php из url, я бы посмотрел .htaccess
Из-за редиректов возможны ситуации, когда при нажатии на Выход из админки - не выходит.
Второй вариант: проблема с сессией. Есть ли тут ошибки /bitrix/admin/site_checker.php?lang=ru ?
И еще загляните на страницу /bitrix/admin/settings.php?lang=ru&mid=main&mid_menu=1 и посмотрите вкладку Авторизация