Znius

В интернетах масса схема на пиках и атмелах.
Исходники прошивок иногда то-же встречаются, не знаю как вы искали но на то-же казусе есть, радиокоте изиэлектронике.

Судя по вопросам, ваш путь это купить готовый считыватель на интересующей технологии и присобачить к какой нить аурдине. Правда цена вас не обрадует.

Для чайников:
Если взять любые значения c_i и подставить их в решение, то получится набор x_i, являющийся решением системы.
Например, 1.106 - (-8, 3+с, 6+2с, с)
Берём произвольное значение с = 2.1, получаем (-8, 5.1, 10.2, 2.1)

1) Да, можно прибавлять любую строку, умноженную на любой коэффициент, к любой другой строке.
2) Нужно сделать так, чтобы во всех клетках (a,b), где a > b остались нули. Тогда матрица примет треугольный вид.
Например, из системы

x + y + z = 1
2*x + 3*y - z = 2
  -x + y + 2*z = 0

получится

x + y + z = 1
    y - 3*z = 0
        9*z = 1

После этого найти последовательно z, y, x
3) Можно, но вам не понравится. Надо считать миноры (определители матриц (N-1)*(N-1)). Но это будет уже не метод Гаусса.