Vindicar

В обработчике команды /start записывать в базу текущую дату (например, в виде timestamp).
По запросу узнать текущую дату, получить дату из базы, вычесть, перевести в дни.
См. модуль datetime.

Почитай про INSERT ... ON CONFLICT UPDATE.

Ещё один не выучил основы языка, но пытается работать с БД.

fectchone() возвращает кортеж, в твоём случае кортеж с одним элементом. Скобки - это строковое представление кортежа. Как вытащить значение из кортежа - читай по ссылке.

Кортежи, списки и словари - это вообще азы языка. Их надо знать, и узнавать с первого взгляда.

c.execute(f"SELECT * from banking_application WHERE name_p IS {pop}")

За такое бьют линейкой по пальцам. Собственно, ты уже наткнулся на одну из причин почему. Вторая тут.
Ну и да, IS используется только как IS NULL или IS NOT NULL. Надо вот так:

c.execute("SELECT * from banking_application WHERE name_p = ?", pop)

Используй on_conflict. Он позволяет как молча проигнорировать втавляемые данные, так и частично обновить существующую строку.
Причем достаточно конфликта по ключу (id пользователя).

Собственно, это хорошо работает, если тебе нужно просто хранить в базе всех, кто обращался к твоему боту.
Если же тебе нужна именно своя регистрация (а тут надо дважды подумать - нужна ли? может, нафиг её?), то тогда сначала проверяй вручную, прошёл ли пользователь регистрацию.

Если ты хочешь при любом действии пользователя убедиться, что он в базе, то тебе нужен не просто INSERT, а INSERT ON CONFLICT IGNORE или INSERT ON CONFLICT UPDATE. Если тебе требуется что-то обновлять (например, хранить для пользователя момент последнего обращения к боту), то нужен второй. Если не требуется, то лучше первый.

1. chat_verification = {message.chat.id}
chat_verification - это множество из одного элемента, вместо простого значения. Зачем?
2.

cursor.execute(f"SELECT chat_id FROM chat_id_table WHERE chat_id ='{chat_verification}' AND verification = 1")

Никогда не используй f-строки. С целыми числами прокатит, со строками - очень рискованно. Используй подстановку параметров.

cursor.execute("SELECT chat_id FROM chat_id_table WHERE chat_id = ? AND verification = 1", (message.chat.id, ))

3.

check = cursor.execute(...
if check is True:

execute() вернёт ссылку на всё тот же cursor, независимо от запроса. Тебе нужно выбрать строку из этого курсора с помощью метода fetchone(). Метод вернёт или кортеж с одним значением chat_id, или None, если ни одна строка не удовлетворяет условию.

cursor.execute("SELECT chat_id FROM chat_id_table WHERE chat_id = ? AND verification = 1", (message.chat.id, ))
result = cursor.fetchone()
if result is None:
    print('Нет такой строки')
else:
    chat_id = result[0]
    print('есть результат:', chat_id)

Ну так у тебя второй запрос запршивает всех пользователей, без условия.
А вообще приведённый код не имеет смысла и не должен работать вообще никак.

for i in cursor.fetchone("SELECT ID FROM user_info WHERE RANK = '1'"):

Ты перебираешь столбцы в первой строке (fetchone), для которой RANK = '1'. Это при том, что запрос возвращает тебе только один столбец - ID. А ещё метод fetchone() не принимает параметров. Ты пропустил вызов execute()?

Потом ты почему-то берёшь 0й символ этого столбца. Если он равен 1 (а он не будет равен 1, так как это символ, а не число).
Потом ты перебираешь всех пользователей, и отправляешь им сообщения (при этом у тебя в вызове send_message() две опечатки - в имени переменной и незакрытая скобка).

А ещё у тебя отступы кривые - почему for i с отступом?

В общем, по такой бредятине понять, в чём дело, нереально.

1. Что значит "одновременного вноса"? sqlite не потокобезопасна, но если ты используешь асинхронную библиотеку для телеги с дефолтной реализацией event loop, то у тебя никогда не будут выполняться 2 обработчика одновременно. Дефолтная реализация строго однопоточна, и проблем с sqlite не будет.
2. 500 человек - это не мера нагрузки. Самая примитивная мера нагрузки - обращений к базе в единицу времени.
А вообще более точно было бы проводить измерение времени выполнения разных частей обработчика события. Если бот потребляет значительную долю ресурсов своего хостинга и при этом проводит много времени обращаясь к БД - вот тогда стоит задуматься о смене БД. И даже тогда можно сначала посмотреть в сторону aiosqlite, чтобы не тормозить всего бота, пока запрос к БД выполняется.

Ну технически возможно: sqlite позволяет описывать user defined functions, которые можно вызывать внутри SQL-запросов - в том числе внутри триггеров. Вот только большой вопрос, что это за функции. С асинхронщиной могут быть проблемы.

Но честно, я бы лучше сделал простой поллинг. Запросил все записи позднее заданного времени, если такие записи есть - обработал, заменил заданное время на самое позднее из этих записей. Повторять раз в пять минут.
Да, время реакции медленнее, но зато код куда понятнее, и проще портируется на другую БД, если что.

def user_exists(self, user_id):
    with self.connection:
        ...
def add_user(self, user_id):
    with self.connection:

По выходу из блока with соединение закроется. Второй блок with его уже не переоткроет.
В таких ситуациях блок with использовать не надо.