1.
chat_verification = {message.chat.id}
chat_verification - это множество из одного элемента, вместо простого значения. Зачем?
2.
cursor.execute(f"SELECT chat_id FROM chat_id_table WHERE chat_id ='{chat_verification}' AND verification = 1")
Никогда не используй f-строки. С целыми числами прокатит, со строками - очень рискованно. Используй подстановку параметров.
cursor.execute("SELECT chat_id FROM chat_id_table WHERE chat_id = ? AND verification = 1", (message.chat.id, ))
3.
check = cursor.execute(...
if check is True:
execute() вернёт ссылку на всё тот же cursor, независимо от запроса. Тебе нужно выбрать строку из этого курсора с помощью метода fetchone(). Метод вернёт или кортеж с одним значением chat_id, или None, если ни одна строка не удовлетворяет условию.
cursor.execute("SELECT chat_id FROM chat_id_table WHERE chat_id = ? AND verification = 1", (message.chat.id, ))
result = cursor.fetchone()
if result is None:
print('Нет такой строки')
else:
chat_id = result[0]
print('есть результат:', chat_id)