Vindicar

1. Первый пользователь посылает сообщение. Запускается копия search_vk() и выполняет синхронный запрос:
user_data = vk_parser.get_user_data(user_id)
Пока запрос выполняется, бот стоит, так как код синхронный.
2. get_user_data() деляет глупости вида

with open("FIO.txt", "w") as file: #открываем один и тот же файл для любого запроса

или

global bio # используем одну и ту же переменную для любого запроса

Ну и прочие медиа-файлы тоже одни и те же для разных запросов.
3. Обработчик сообщения первого пользователя доходит до строки

loading = await message.answer('<b>Идёт поиск</b>')

Так как это await-вызов, планируется вызов корутины, и асинхронная программа переходит к следующей доступной операции, пока выполняется отправка сообщения. Собранные данные лежат в файлах.
4. Второй пользователь посылает сообщение. Запускается ещё одна копия search_vk() и тоже выполняет синхронный запрос get_user_data(). Второй вызов get_user_data() перезаписывает данные в файлах.
5. Обработчик сообщения второго пользователя доходит до строки

loading = await message.answer('<b>Идёт поиск</b>')

и засыпает, пока сообщение отправляется.
6. Тем временем сообщение первого пользователя отправилось. Обработчик получает управление, и отправляет содержимое файлов - которое было перезаписано, заодно закрывая их.
7. Сообщение второго пользователя отправилось. Его копия search_vk() пытается отправить файлы, но первый обработчик их уже закрыл.
Дело ещё осложняется сетевым лагом, так что трудно сказать, кто в итоге будет первым.

Если по прочтению ты ещё не понял, в чём дело, скажу прямо: не используй глобальные объекты, будь то файлы или переменные, в конкурентной среде! Убедись, что каждая копия обработчика запроса имеет свои хранилища для данных! Локальные переменные безопасны, они создаются каждый раз заново. Если не можешь обойтись без файлов на диске, либо используй модуль tempfile, либо привяжи их имена к ID отправителя сообщения, чтобы хотя бы разные пользователи не сталкивались лбами.

В файле есть строка, в которой нет символа ":". Например, пустая строка (возможно в конце файла).

on_startup(_)
Ты говоришь, что функция on_startup() ожидает 1 параметр (по имени _).
Очевидно, она вызывается без параметров.
Или в какой момент возникает ошибка? Есть ли декораторы на этой функции?

Если на чистом питоне без tkinter, то кроссплатформенного решения нет.
Под винду - ctypes + windows api, но это очень, очень мучительное решение.
Под никсы... вот честно, я фз. Не удивлюсь, если там нужно привязываться к конкретному оконному менеджеру...

on_member_ban()?

Либо можно поискать инфу в журнале аудита сервера.

Во-первых, сама идея - плохая, так как ник можно менять. Используй числовой id пользователя вместо ника.
Во-вторых, никогда не формируй текст запроса через форматирование строк. Используй подстановку параметров.

f"SELECT id FROM userifo where id={member.id}
Никогда так не делай.
А вообще, что ты пытаешься сделать? Перебрать все сервера и занести их участников в БД?
Во-первых, у класса Client (и у его наследника discord.ext.commands.Bot) есть свойство guilds. Это список отдельных серверов, можешь просто перебрать его for'ом.
Во-вторых, в sqlite есть синтаксис INSERT ON CONFLICT UPDATE, который позволяет добавить запись или обновить её, если она уже существует, за один запрос а не за два.
В-третьих, твой алгоритм перебора не сумеет обнаружить участников, покинувших сервер, так как они просто не появятся в списке участников.
В-четвёртых, если ты не понимаешь, зачем в коде та или иная строка, тебе рано браться за написание ботов. Поучи сначала основы питона, почитай документацию на discord.py, потом вернёшься к теме. Сэкономишь много времени на вопросах.

К сожалению, большинство библиотек для работы с ffmpeg тупо запускают экзешник с параметрами, тем самым наследуя все его косяки. Так что особого выигрыша тут нет.
Гипотетически ты мог бы попытаться взять libffmpeg-c или аналог, скомпилировать под нужную тебе платформу (DLL для винды, so для линукса) и использовать модуль ctypes для работы с ней. Но это, боюсь, будет ещё сложнее.

В коде каша. С одной стороны, вроде знаешь про плейсхолдеры, но не синтаксис SQL:

cursor.execute('INSERT OR IGNORE bazaa (user_id, user_name, username) VALUES (?, ?, ?)', (user_id, user_name, username))

А в другом месте кода с точностью до наоборот.

INSERT INTO USERS (user_id, username, first_name,  last_name) VALUES ({user}, "{username}", "{first_name}", "{last_name}", "{ctime()}");

Почитай про синтаксис INSERT и ON CONFLICT и никогда не формируй запросы форматированием строк.