1)
$stmt = $mysql->query("SELECT `value` FROM counter WHERE `id` = 1");
$data = (int)$stmt->fetchColumn();
$data++;
$query = "UPDATE `counter` SET `value` = :value WHERE `id` = :id";
$params = [
":id" => 1,
":value" => $data
];
меняем на
$query = "UPDATE `counter` SET `value` = `value`+1 WHERE `id` = :id";
и сразу избавляемся от лишнего запроса. На будущее переписываем как инсерт он дупликэйт апдейт.
2)
dataType: 'text',
меняем на
dataType: 'json',
и никакие парсе не нужно, получаем сразу объект.
3) Смотрим вкладку нетворк, строчку где выполнился аякс, смотрим ОТВЕТ СЕРВЕРА. Много думаем.