Данная ошибка, если я не ошибаюсь, говорит о том, что у пользователя, которому вы пытаетесь отослать письмо нет типа оповещения с этим же типом нотфикации.

Например, у вас в действии настроено оповещение на Email_Script, а у пользователя нет этого типа

Интересуют вопросы: Как вообще должно выглядеть тестирование?(теста на каждый блок\модуль сайта, или на каждую страницу, или на целый сайт),

Тут как пожелаете. Конечно в первую очередь нужно написать тест на критичные бизнес-процессы.
Затем на менее критичные и т.д. на сколько позволяет время и бюджет

при каждом обновлении сайта запускать тесты или раз в день\неделю,

По хорошему, нужно запускать при каждом изменении, но тут все зависит от того, какие именно были изменения.
У нас автотесты бегают принудительно каждую ночь на свежесобранной чистой среде. + по запросам комитов

куда тесты пишут о своем успехе\проблемах, и кто читает этот "лог".

Тут надо понять, каким образомы вы собираетесь их запускать. Существует куча фреймворков Тестранеров.
У них обычно есть методы логирования результатов тестов. Но есть и фреймворки для сбора отчетов типа Alura

опишите последовательность действий.
Компиляция?
Запуск?