При записи не указываю "срок хранения", что должно означать что куки будут храниться только на время сессии,
Максимальное время жизни cookie в формате метки даты-времени HTTP. Если не определён, cookie будет иметь время жизни сессионного cookie. Сессия окончена, когда клиент отключается, что приводит к удалению сессионных cookie в этот момент. Однако, многие браузеры имеют возможность, называемую восстановление сессии, которая сохраняет все ваши вкладки и затем возвращает их, когда вы в следующий раз запускаете браузер. Cookies будут также присутствовать, словно вы никогда не закрывали браузер.
Об этом много информации в сети, можно почитать при желании. Полезно.
Потому что ID атрибуты предназначены совсем для другого