проверь лог ошибок php - скрипт не падает с ошибкой?
мне кажется фетч может при post запросе автоматом добавлять enctype="multipart/form-data" и поэтому "php://input" нихрена не возвращает и скрипт падает при json_decode("")
в полуавтоматическом режиме думаю можно - пройти первый раз чтобы сохранить данные кукис/сессии, а потом уже парсить сайт дальше автоматом до следующей капчи
1. Изучить https://www.php.net/manual/ru/book.dom.php
2. Найти контекст всех тегов на странице и если тег не является ссылкой, то заменить в нем ключевые слова на ссылки
1. ты используешь ооочень старую версию судя по https://packagist.org/packages/edamov/pushok
2. во многом зависит не только от версии по, но и от его настроек/конфигурации
3. используй xdebug и его аналоги для трассировки кода чтобы посмотреть что передается в данных переменных перед передачей их в методы
подобные проекты вымерли т.к. там не то чтобы много кода (соединиться и передать/получить данные) поэтому особой надобности в отдельных пакетах нет - достаточно функций php