Serj-One

Размер не указан, поэтому блок занимает ширину по размеру контента внутри, но не более ширины родителя без учёта паддинга (бутстраповские 15px, на которые он и выступает).
Добавь

.main-news .text {
    left: 15px;
    right: 15px;
}

AdBlock. С именами "ad...", "baner", и т.д. нужно быть осторожней.

По идее на макете они реализовани с помощью шрифта Socialico, но найти его я не смог.

Первая же ссылка в гугле ведёт на него - www.fonts2u.com/socialico.font

.red {
  position: relative;
}

Оформляй кнопки через стили, это классы .slick-prev и .slick-next, не нужно пихать оформление в js. А позиционируются они точно так же, как любой абсолютно спозиционированный элемент.

vertical-align: top; для инлайн-блоков (достаточно для любого одного в ряду).

ionden.com/a/plugins/ion.rangeSlider
Куда лучше, чем rangeSlider jQui, что посоветовали выше.

В документацию заглянуть не пробовали?

https://github.com/alvarotrigo/fullPage.js#options

normalScrollElements: (default null) If you want to avoid the auto scroll when scrolling over some elements, this is the option you need to use. (useful for maps, scrolling divs etc.) It requires a string with the jQuery selectors for those elements. (For example: normalScrollElements: '#element1, .element2'). This option should not be applied to any section/slide element itself.

transition нужно присваивать самому элементу, а не его ховеру.

Masonry

Развёрнуто здесь нечего писать. Кроме того, в сети масса информации.
Нужна поддержка устаревших браузеров - jQ animate. (минус - заведомо худшая производительность, и вынос оформления в js)
Не нужна - css3 animations.