добавить каждой кнопке id и вписывать его в hidden-поле формы
document.getElementById('#button1').addEventListener('click',function(event){
showForm(); // здесь код который показывает форму
document.querySelector('#hidden_id').value = '#button1';
},false);
document.getElementById('#button2').addEventListener('click',function(event){
showForm(); // здесь код который показывает форму
document.querySelector('#hidden_id').value = '#button2';
},false);
document.getElementById('#button3').addEventListener('click',function(event){
showForm(); // здесь код который показывает форму
document.querySelector('#hidden_id').value = '#button3';
},false);
и в форме добавить поле
<!-- BEGIN POPUP -->
<div class="hidden">
<form id="callback" class="popup">
<h3>Заказать обратный <br>звонок</h3>
<input type="hidden" name="hidden_id' id="hidden_id">
<input type="text" name="name" placeholder="Введите Ваше имя" required>
<input type="tel" name="phone" placeholder="Введите Ваш телефон" required>
<input type="submit" class="btn" value="Заказать">
</form>
<div id="thanks" class="popup">
<h3>Спасибо за заявку</h3>
<p>Мы свяжемся с Вами в <br>ближайшее время</p>
</div>
</div>
<!-- END POPUP -->