Первое, что приходит в голову, создать свой screen saver, который будет запускаться при простое и будет отдельным процессом запускать синхронизацию. При движении мыши screen saver будет закрываться попутно убивая процесс синхронизации.
Прям похоже на баг в браузере. С хромом такая же проблема? А с другими браузерами?
Если с другими все ок, рекомендую написать в службу поддержки яндекса.
