Rsa97

Вы вывели формулу получения k+1 элемента из k-го, а в программе используете её для получения k-го элемента из k-1. Это разные формулы.

Тут основная проблема в том, что для компьютера, при использовании чисел одинарной точности, 4.637₁₀ = 100.101000110001001001101₂ = 4.6369996071₁₀, то есть точно посчитать количество десятичных знаков после запятой невозможно. Приблизительно можно считать беря дробную часть числа. Если эта часть близка к нулю (r < epsilon) или к единице (1-r < epsilon), то, с какой-то вероятностью можно сказать, что мы посчитали длину дробной части. Если нет - то умножаем дробную часть на 10, увеличиваем счётчик и проверяем сначала.

А если комментарий //delete node; заменить на код, реально удаляющий ноду?
Ну и push() неправильно сделан. Хранить node надо как указатель Node<T>*, в конструкторе инициализировать NULL, в push:

tempNode->data = value;
tempNode->next = node;
node = tempNode;

Во-первых, переменная N у вас нигде не определена, так же как a, b и n.
Во-вторых, массив вам не нужен, просто сразу складывайте полученные f_i.
В-третьих, делить int на int можно, но результат тоже будет иметь тип int.
В-четвёртых, раз уж вы работаете в вещественных числах, то пишите не 1/2, а 0.5, 1/2. или 1./2, чтобы компилятор понял, что эти подвыражения надо считать как вещественные.

push заносит текущее значение на вершину стека, затем его можно восстановить по #pragma pack(pop).
Это позволяет исключить конфликты при сборке нескольких .h-файлов с разными требованиями к pack.

На первом шаге цикла:

k = 1
f = f*k = 1*1 = 1
z = z + 1 / (k + 1) = 0 + 1 / (1 + 1) = 0 + 1 / 2 = 0 + 0 = 0
s = s + (f / z) = 0 + (1 / 0)

На ноль делить запрещено!

Можно наипростейшим образом - сравнивать начало строки со стандартными римскими числами

-      1   2   3   4   5   6   7   8   9
x1     I  II  III  IV  V  VI  VII VIII IX
x10    X  XX  XXX  XL  L  LX  LXX LXXX XC
x100   C  CC  CCC  CD  D  DC  DCC DCCC CM
x1000  M  MM  MMM

А можно и конечный автомат расписать

Если присваивается именно константный ноль, а не результат какого-либо вычисления, то сравнение с нулём безопасно.

Статические члены класса

Переменная среды USERPROFILE

Здесь скорее всё-таки не двумерный массив, а одномерный массив содержащий указатели на экземпляры класса Student. Соответственно, при добавлении студента копируются не сами экземпляры, а только ссылки на них.

Нет, задача лексера - преобразовать поток символов (текст программы) на входе в поток лексем, как правило расширенных, на выходе. Например:

1 + 1 * 2 => <число(1)> <плюс> <число(2)> <умножить> <число(2)>

flex по формальной грамматике строит лексер, то есть выдаёт код на C, содержащий определение функции yylex(), при каждом вызове которой выдаётся следующая лексема.
Реализация лексера может быть различной, часто используются конечные автоматы.

LPCWSTR - Long Pointer to Constant Wide STRing
hf = FindFirstFile(L"//*.jpg", &FindFileData);

В общем случае задача решения не имеет. В частном, когда основание трапеции параллельно одной из осей, есть бесконечное множество решений.