Вам надо перебирать все строки таблицы и для каждой вставлять соответствующее значение. Сейчас вы каждое значение вставляете во все строки таблицы разом.
$('tbody#parent>tr:gt(0)>td:nth-child(3)').each(function(index) {
$(this).text(data['set']['items'][index]['name']);
});