Msim

vk.com/dev/groups.getMembers

Возвращает список участников сообщества.
Это открытый метод, не требующий access_token.

Есть у simple HTML DOM такая болезнь, надо все вхождения find оборачивать в

if (method_exists($html, "find")){
    if($html->find('нужный нам селектор')){
        код парсинга
    }
}

Я из-за таких вот косяков и перешёл на phpQuery

Есть отличная либа для парсинга страниц. Просто и удобно.
php.net/manual/en/httprequest.send.php
Это для запросов.
Для парсинга страниц можно использовать phpQuery.
Или использовать Crawler от Symfony2: symfony.com/doc/current/components/dom_crawler.html

https://github.com/chuyskywalker/rolling-curl
+
https://github.com/olamedia/nokogiri

Запрос будет отправлен на текущий php-файл с get-параметром.
При отправке на странице приема запроса можно будет использовать и get-параметр и post, отправленные из формы.

Это значит URL текущей страницы + ?act=auth
Относительный адрес.

это просто относительный адрес.
Запрос будет послан на текущий роут (пхп-файл), но с дополнительным параметром

Это очень сложная задача, решается только при соблюдении определённых правил.

Если ключевое слово стоит всегда первым, тогда можно разбить explode по пробелу, очистить от предлогов а потом каждое слово присоединить к 0 элементу массива, но будет "батончик орехами" предлог-то вы потеряете. А предлог можно сохранить присоединив к нему следующий элемент массива. Но если будет фраза "Батончик ела девочка с мамой" то одним из вариантов выйдет "Батончик с мамой" :))))

ajax(через jquery максимум 30 мин чтоб разобраться) отклик на изменения текста. Ну а на бекенде поиск по базе грамотный и все будет как вы написали.