$(_слайдер_)
.slick({
_настройки_
})
.on('beforeChange', function (event, slick, currentSlide, nextSlide) {
// Допустим, сейчас KFC и у него уже есть класс active при инициализации. Он идет первым с индексом 0.
// У логотипов класс 'logo'.
// Вторым идет МакДак с индесом 1.
// currentSlide при инициализации (если не указано другого = 0).
$(.logo).eq(nextSlide).addClass('active').siblings().removeClass('active');
})
.on('afterChange', function (event, slick, currentSlide) {
// если то же самое нужно не до смены слайда, а после... но тут нет параметра nextSlide, здесь мы видим только текущий слайд currentSlide
});