bro-dev: Да, все верно. Если вам нужно модифицировать условия основного запроса, чтобы он выдавал нужное вам, вместо стандартного - используйте pre_get_posts.
Для получения аттачментов да, нужно корректно указать post_status = inherit. Это статус по умолчанию для всех attachments.
JustChrome: сделайте скриншоты вывода команды ls -al в директории /var/www и в /var/www/mysite.ru. Сами названия в части пути можете зарисовать чем-то. Надо посмотреть все-таки на права и владельцев своими глазами. Если с ними все ок - будем смотреть дальше.
JustChrome: вы делали это папке /var/www/ или в папке /var/www/mysite.ru? Ведь текст ошибки вам прямо намекает, что "родительская директория недоступна для чтения". То есть, речь в первую очередь о директории /var/www/mysite.ru. Она должна принадлежать пользователю www-data и иметь права 755. Иначе WP не запишет в нее ничего.
Для получения аттачментов да, нужно корректно указать post_status = inherit. Это статус по умолчанию для всех attachments.