В action формы стоит указать mail.php для случаев, когда js отключен.
В обработчике submit следует отменить действие по-умолчанию:
$(document).ready(function(){
$("#form").submit(function(e) { //устанавливаем событие отправки для формы с id=form
e.preventDefault();
var form_data = $(this).serialize(); //собераем все данные из формы
$.ajax({
type: "POST", //Метод отправки
url: "mail.php", //путь до php фаила отправителя
data: form_data,
success: function() {
//код в этом блоке выполняется при успешной отправке сообщения
alert("Ваше сообщение отпрвлено!")
}});
});
});
Это как минимум, а дальше смотрите там уже... Есть консоль, есть "Network" для контроля запросов и ответов. Стоит просто нажать F12