Делаете ровно что и обычно, только вместо the_sub_field('field_name'); пишите $variable = get_sub_field('field_name'); после которого echo do_shortcode('[facetwp facet="$variable"]');
И правда интересное меню, но Alexander совершенно прав, это не бэкенд чтобы гадать что же там происходит...все исходники у вас у браузере, нужно лишь тщательно все изучить.
JSON максимум на 10 минут материала почитать.
jquery думаю нужен, так как он уже чуть ли не является частью js.
AJAX желательно, но не обязательно.
Хотя тут кончено многое все зависит от работодателя.