Vue использует webpack, а webpack использует для запросов конкретные пути, которые ты указываешь при билде.publicPatch указывает на соответствующий сайт.webpack позволяет менять публичный путь динамически, присваивая его переменной __webpack_public_path__. Остаётся только при старте приложения получить путь к скрипту, например из document.currentScript, выделить из него нужный путь и присвоить его. key в v-for попадаются дубликаты, но обычно это приводит к другим ошибкам.