https://debian.pro/176
Ну и, если sendmail настроен, то в doerror напишите что-то в духе
echo Actung111111 | mail -s Achtung example@example.com
Другой вопрос, что такой скрипт не имеет смысла - если сеть упадет там, откуда вы пингуете - прилетит куча писем, когда сеть поднимется.
https://debian.pro/1561 лучше вот так сразу сделать.