Определитесь со смыслом start и finish. start - это первый элемент интервала, в котором искомый x может быть. finish, судя по тому, что он равен сначала len(lst) - это за концом интервала (не входит в него).
Значит, исходя из этого, надо цикл гнать пока start < finish - тут правильно.
При переходе наверх надо start делать mid+1 - тут правильно.
При переходе вниз надо finish делать mid - тут ошибка! Ведь только что рассмотренный элемент вы выбрасываете, раз он не подошел. Но предыдущий за ним может быть искомым. Нельзя делать finish = mid-1 - вы теряете потенциально важный элемент.
Другой вариант исправления - изменить смысл finish быть концом отрезка включительно. Тогда присвоения в цикле правильные, но неверно условие цикла и инициализация. Нужно гнать цекл пока start <= finish и изначально присваивать len(lst)-1.